Polynôme caractéristique de $\mathbf{AB}$ et de $\mathbf{BA}$

Si $A,B\in\mcm_n(\K)$ , on peut par plusieurs méthodes démontrer que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$ . On va citer trois méthodes, parmis lesquelles il y’a une méthode qui prouve que généralement si $A\in \mcm_{n,p}(\K)$ et $B\in\mcm_{p,n}(\K)$ alors $X^{p}\chi_{AB}=X^{n}\chi_{BA}$ . On commence par la première méthode qui utilise un argument de densité, par suite elle a un inconvénient, c’est le fait qu’elle est valable pour le cas où le corps de base $\K$ est un sous-corps de $\C$ pour pouvoir utiliser la notion de norme nécessité par la topologie sur quoi on se base pour définir la densité.

Première méthode: Densité de $\GL_n(\K)$

Dans tout ce qui suit $\K$ est un sous-corps de $\C$ , on rappelle que $\GL_(\K)$ est dense dans $\mcm_n(\K)$ , si $A\in \GL_n(\K)$ et $B\in\mcm_n(\K)$ , alors, $BA=A^{-1}(AB)A$ . Les matrices $AB$ et $BA$ sont donc semblables, donc $\chi_{AB}=\chi_{BA}$ . Si $A\in\mcm_n(\K)$ , par densité, il existe une suite $(A_k)\in\GL_n(\K)^\N$ tel que $\lim\limits_{k\to\i} A_k=A$ . Pour tout $k\in\N$ , on a: $\chi_{A_kB}=\chi_{BA_k}$ et comme les applications $M\mapsto MB, M\mapsto BM$ et $M\mapsto\chi_M$ sont continues, le passge à la limite permet d’avoir $\chi_{AB}=\chi_{BA}$ .

Deuxième méthode: Utilisation de la matrice $\mathbf{J_{n,r}}$

Préliminaire avant de commencer:

Avant de commencer remarquons que si $r\in \N$ tel que $0 < r < n$ et $M=\matrd{M_1&M_2}{M_3&M_4}$ avec $M_1\in \mcm_r(\K)$ , alors $J_{n,r}\times M=\matrd{M_1&M_2}{0&0}$ et $M\times J_{n,r}=\matrd{M_1&0}{M_3&0}$ , de sorte que: $\chi_{J_{n,r}\times M}=X^{n-r}\chi_{M_1$ et $\chi_{M\times J_{n,r}}=X^{n-r}\chi_{M_1$ , donc $\chi_{J_{n,r}\times M}=\chi_{M\times J_{n,r}}$ .

Par ailleurs, comme on l’a démontré dans la première méthode notons que $\chi_{MU}=\chi_{UM$ , pour toute matrice $M$ et toute matrice inversible $U$ .

Preuve pour la deuxième méthode:

Si $\rg(A)=r$ , alors si $r=0$ alors $A=0$ donc $AB=BA=0$ et le résultat devient évident.

Si $r=n$ , alors $A$ est inversible et alors $AB$ et $BA$ sont sembalbale et le résultat a lieu.

Finalement, si $0 < r < n$ , il existe $P,Q\in\GL_n(\K)$ tel que $A=PJ_{n,r}Q$ où $J_{n,r}=\matrd{I_r&0}{0&0}$ . Donc , en notant $J$ la matrice $J_{n,r}$ et compte tenu , on a: $\chi_{AB}=\chi_{PJQB}=\chi_{JQBP}=\chi_{QBPJ}=\chi_{BPJQ}=\chi_{BA}$

3 thoughts on “Polynôme caractéristique de $\mathbf{AB}$ et de $\mathbf{BA}$ ”

halima 6 décembre 2023

est ce que cette demo est valable pour tout corp K

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1. Mohamed AL Post author6 décembre 2023
  
  Celle de la deuxième méthode oui, mais celle qui utilise la densité il faut prendre $\K$ un sous corps de $\C$
  
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  1. halima 7 décembre 2023
    
    merci , monsieur
    
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Première méthode: Densité de

Deuxième méthode: Utilisation de la matrice

Préliminaire avant de commencer:

Preuve pour la deuxième méthode:

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Première méthode: Densité de $\GL_n(\K)$

Deuxième méthode: Utilisation de la matrice $\mathbf{J_{n,r}}$

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