{"id":59,"date":"2023-12-03T21:50:12","date_gmt":"2023-12-03T20:50:12","guid":{"rendered":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/?p=59"},"modified":"2023-12-08T23:44:47","modified_gmt":"2023-12-08T22:44:47","slug":"sous-espace-stable-minimal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/2023\/12\/03\/sous-espace-stable-minimal\/","title":{"rendered":"Sous-espace stable minimal"},"content":{"rendered":"\n

On se propose de donner une id\u00e9e pour d\u00e9montrer que si \"E\" est un espace vectoriel sur \"\R\" de dimension au moins \"2\" et si \"u\" est un endomorphisme de \"E\" alors \"u\" admet au moins un plan stable. En fait si \"\K\" est un corps quelconque et \"u\" admet au moins une valeurs propre alors \"u\" admet au moins une droite stable, c’est le cas notamment si \"\K=\C\", mais si \"u\" n’admet aucune valeur propre une telle droite stable n’existe pas et pour \"\K=\R\" on a quand m\u00eame un plan, donc en r\u00e9sum\u00e9 si \"E\" est un \"\K-\" espace vectoriel non nul et \"\K=\R\" ou \"\C\" alors pour tout endomorphisme \"u\" de \"E\" il existe au moins une droite ou un plan stable par \"u\". <\/p>\n\n\n\n

Cas o\u00f9 \"u\" admet au moins une valeur propre:<\/h2>\n\n\n\n

Si \"u\" admet au moins une valeur propre(c’est le cas si \"\K=\C\" ou \"\K=\R\" et \"n\" est impair), alors si on note \"\la\" une telle valeur propre et \"x_0\" un vecteur propre associ\u00e9, la droite \"\vect(x_0)\" est stable par \"u\" car si \"x\in F\", il existe \"\al\in\K\" tel que \"x=\al x_0\", donc \"u(x)=\alu(x_0)=\al\la x_0\", donc \"u(x)\in F\".<\/p>\n\n\n\n

Cas o\u00f9 \"\spec(u)=\emptyset\" et \"\K=\R\":<\/h2>\n\n\n\n

Si \"\spec(u)=\emptyset\" et \"\K=\R\", les facteurs irr\u00e9ductibles du polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"u\" sont tous des trin\u00f4mes \"T_1,\dots, T_s\" unitaires de discriminants strictement n\u00e9gatifs. Donc \"\chi_u=\prod\limits_{k=1}^s T_k\", et comme \"\chi_u(u)=0\", il existe \"k\in \ll1,s\rr\" tel que \"T_k(u)\" est non injectif car si les \"T_k\" sont tous injectifs il en serait de m\u00eame de leur produit, donc \"\chi_u(u)\" serait injectif, ce qui n’est pas le cas car c’est l’endomorphisme nul. On peut donc dire qu’il existe \"\al,\be\in \R\" tel que \"T(u)=u^2-\al u -\be \id_E\" est non injectif, donc il existe un vecteur non nul \"x\" tel que \"T(u)(x)=0\", donc \"u^2(x)=\al u(x)+\be x\", donc si \"F=\vect(x,u(x))\" alors \"F\" est un plan de \"E\" stable par \"u\".<\/p>\n\n\n\n

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