{"id":247,"date":"2023-12-09T23:52:39","date_gmt":"2023-12-09T22:52:39","guid":{"rendered":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/?p=247"},"modified":"2024-08-12T12:04:32","modified_gmt":"2024-08-12T10:04:32","slug":"ideal-maximal-de-mcc01r","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/2023\/12\/09\/ideal-maximal-de-mcc01r\/","title":{"rendered":"Id\u00e9al maximal de \"\mcc([0,1],\R)\""},"content":{"rendered":"\n

Cet article r\u00e9pond \u00e0 la premi\u00e8re question du probl\u00e8me suivant (image ci-dessous) propos\u00e9 par Ayoub Maths<\/strong> dans sa page sur Facebook. On pourra faire suite aux autres questions et donner leur r\u00e9ponses respectives apr\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Les questions pos\u00e9es:<\/h2>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

R\u00e9ponse \u00e0 la premi\u00e8re et deuxi\u00e8me question:
<\/h2>\n\n\n\n

Notons \"E=\mcc([0,1],\R)\". Pour tout \"a\in [0,1]\", il est tr\u00e8s facile de prouver que \"\mcm_a=\{f \in E /f(a)=0\}\", est un id\u00e9al de \"E\".
D\u00e9montrons que \"\mcm_a\" est un id\u00e9al maximal: L’application

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi_a:E\to\R; f \mapsto \Phi_a(f)=f(a)\]\"<\/p>
est un morphisme d’anneaux; de plus \"\Phi_a\" est surjectif car si \"c\in \R\" alors \"\Phi_a(f)=c\" o\u00f9 \"f\" est l’application constante \"x\mapsto f(x)=c\". On a \"\ker(\Phi_a)=\mcm_a\", donc d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de l’isomorphisme \"E/\mcm_a\simeq \imm(\Phi_a)=\R\" et comme \"\R\" est un corps, l’id\u00e9al \"\mcm_a\" est maximal.<\/p>\n\n\n\n

Inversement soit \"\mcm\" un id\u00e9al de \"E\" et supposons que

  <\/span>   <\/span>\"\[(\star\star\star) \quad \fa x\in[0,1], \mcm\neq \mcm_x\]\"<\/p>
Il en d\u00e9coule que pour tout \"x\in [0,1]\" il existe \"f_x\in \mcm\" tel que \"f_x(x)\neq 0\", et par continuit\u00e9 de \"f_x\" il existe \"\Om_x\" ouvert de \"[0,1]\" tel que:

  <\/span>   <\/span>\"\[(\star\star)\quad \cax{x\in \Om_x}{\fa t \in \Om_x, f_x(t)\neq 0}.\]\"<\/p> On a visiblement \"\bigcup\limits_{x\in[0,1]} \Om_x=[0,1]\" et par compacit\u00e9 de \"[0,1]\", il existe \"x_1,\dots, x_m \in[0,1]\" tel que \"[0,1]=\bigcup\limits_{k=1}^m \Om_{x_k}\". Pour tout \"k\in \ll1,m\rr\", on a \"f_{x_k}\in \mcm\" et \"\mcm\" est un id\u00e9al donc \"f_{x_k}^2\in \mcm\", par suite \"f=\sum\limits_{k=1}^m f_{x_k}^2 \in \mcm\". La fonction \"f\" ne s’annule jamais car sinon on aurait \"c\in [0,1]\" tel que \"f(c)=0\", donc on a:

  <\/span>   <\/span>\"\[(\star)\quad \fa k\in \ll1,m\rr,\quad f_{x_k}(c)=0,\]\"<\/p> et comme \"[0,1]=\bigcup\limits_{k=1}^m \Om_{x_k}\", il existe \"j\in\ll1,m\rr\" tel que \"c\in \Om_{x_j}\", donc, en vertu de \"(\star\star)\" on a \"f_{x_j}(c)\neq0\", ce qui est une contradiction avec \"(\star)\", donc \"f\" ne s’annule jamais et \"f\" est un \u00e9l\u00e9ment inversible de \"E\" qui est dans l’id\u00e9al \"\mcm\", donc \"\mcm=E\".<\/p>\n\n\n\n

On vient de prouver que le seul id\u00e9al de \"E\" qui v\u00e9rifie la condition \"(\star\star\star)\" est \"E\" lui m\u00eame, cela veut dire que tout id\u00e9al propre<\/em> \"\mcm\" de \"E\" est contenu dans un certain \"\mcm_c\" avec \"c\in [0,1]\". Si on suppose de plus que \"\mcm\" est maximal, alors compte tenu du fait que \"\mcm_c\" est maximal on a donc \"\mcm=\mcm_c\", ce qu’il fallait d\u00e9montrer.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Cet article r\u00e9pond \u00e0 la premi\u00e8re question du probl\u00e8me suivant (image ci-dessous) propos\u00e9 par Ayoub Maths dans sa page sur Facebook. On pourra faire suite aux autres questions et donner leur r\u00e9ponses respectives apr\u00e9s. Les questions pos\u00e9es: R\u00e9ponse \u00e0 la premi\u00e8re et deuxi\u00e8me question: Notons . Pour tout , il est tr\u00e8s facile de prouver\u2026 Read More »<\/a><\/span><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-247","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/247","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=247"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/247\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":278,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/247\/revisions\/278"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=247"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=247"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=247"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}