{"id":190,"date":"2023-12-06T02:50:48","date_gmt":"2023-12-06T01:50:48","guid":{"rendered":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/?p=190"},"modified":"2023-12-06T18:41:51","modified_gmt":"2023-12-06T17:41:51","slug":"polynome-caracteristique-de-ab","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/2023\/12\/06\/polynome-caracteristique-de-ab\/","title":{"rendered":"Polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"\mathbf{AB}\" et de \"\mathbf{BA}\""},"content":{"rendered":"\n

Si \"A,B\in\mcm_n(\K)\", on peut par plusieurs m\u00e9thodes d\u00e9montrer que \"\chi_{AB}=\chi_{BA}\". On va citer trois m\u00e9thodes, parmis lesquelles il y’a une m\u00e9thode qui prouve que g\u00e9n\u00e9ralement si \"A\in \mcm_{n,p}(\K)\" et \"B\in\mcm_{p,n}(\K)\" alors \"X^{p}\chi_{AB}=X^{n}\chi_{BA}\". On commence par la premi\u00e8re m\u00e9thode qui utilise un argument de densit\u00e9, par suite elle a un inconv\u00e9nient, c’est le fait qu’elle est valable pour le cas o\u00f9 le corps de base \"\K\" est un sous-corps de \"\C\" pour pouvoir utiliser la notion de norme n\u00e9cessit\u00e9 par la topologie sur quoi on se base pour d\u00e9finir la densit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Premi\u00e8re m\u00e9thode: Densit\u00e9 de \"\GL_n(\K)\"<\/h2>\n\n\n\n

Dans tout ce qui suit \"\K\" est un sous-corps de \"\C\", on rappelle que \"\GL_(\K)\" est dense dans \"\mcm_n(\K)\", si \"A\in \GL_n(\K)\" et \"B\in\mcm_n(\K)\", alors, \"BA=A^{-1}(AB)A\". Les matrices \"AB\" et \"BA\" sont donc semblables, donc \"\chi_{AB}=\chi_{BA}\". Si \"A\in\mcm_n(\K)\", par densit\u00e9, il existe une suite \"(A_k)\in\GL_n(\K)^\N\" tel que \"\lim\limits_{k\to\i} A_k=A\". Pour tout \"k\in\N\", on a: \"\chi_{A_kB}=\chi_{BA_k}\" et comme les applications \"M\mapsto MB, M\mapsto BM\" et \"M\mapsto\chi_M\" sont continues, le passge \u00e0 la limite permet d’avoir \"\chi_{AB}=\chi_{BA}\".<\/p>\n\n\n\n

Deuxi\u00e8me m\u00e9thode: Utilisation de la matrice \"\mathbf{J_{n,r}}\"<\/h2>\n\n\n\n

Pr\u00e9liminaire avant de commencer:<\/h5>\n\n\n\n

Avant de commencer remarquons que si \"r\in \N\" tel que \"0 < r < n\" et \"M=\matrd{M_1&M_2}{M_3&M_4}\" avec \"M_1\in \mcm_r(\K)\", alors \"J_{n,r}\times M=\matrd{M_1&M_2}{0&0}\" et \"M\times J_{n,r}=\matrd{M_1&0}{M_3&0}\", de sorte que: \"\chi_{J_{n,r}\times M}=X^{n-r}\chi_{M_1\" et \"\chi_{M\times J_{n,r}}=X^{n-r}\chi_{M_1\" , donc \"\chi_{J_{n,r}\times M}=\chi_{M\times J_{n,r}}\".<\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, comme on l’a d\u00e9montr\u00e9 dans la premi\u00e8re m\u00e9thode notons que \"\chi_{MU}=\chi_{UM\", pour toute matrice \"M\" et toute matrice inversible \"U\".<\/p>\n\n\n\n

Preuve pour la deuxi\u00e8me m\u00e9thode:<\/h5>\n\n\n\n

Si \"\rg(A)=r\", alors si \"r=0\" alors \"A=0\" donc \"AB=BA=0\" et le r\u00e9sultat devient \u00e9vident.<\/p>\n\n\n\n

Si \"r=n\", alors \"A\" est inversible et alors \"AB\" et \"BA\" sont sembalbale et le r\u00e9sultat a lieu.<\/p>\n\n\n\n

Finalement, si \"0 < r < n\", il existe \"P,Q\in\GL_n(\K)\" tel que \"A=PJ_{n,r}Q\" o\u00f9 \"J_{n,r}=\matrd{I_r&0}{0&0}\". Donc , en notant \"J\" la matrice \"J_{n,r}\" et compte tenu , on a: \"\chi_{AB}=\chi_{PJQB}=\chi_{JQBP}=\chi_{QBPJ}=\chi_{BPJQ}=\chi_{BA}\"<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Si , on peut par plusieurs m\u00e9thodes d\u00e9montrer que . On va citer trois m\u00e9thodes, parmis lesquelles il y’a une m\u00e9thode qui prouve que g\u00e9n\u00e9ralement si et alors . On commence par la premi\u00e8re m\u00e9thode qui utilise un argument de densit\u00e9, par suite elle a un inconv\u00e9nient, c’est le fait qu’elle est valable pour le\u2026 Read More »<\/a><\/span><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-190","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/190","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=190"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/190\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":229,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/190\/revisions\/229"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=190"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=190"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mohamed.legtux.org\/mp\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=190"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}