Exercice 6, algèbre, almoufid, Le nombre j, quelques propriétés

Question

493 vues12 août 2024Chapitre 01: Nombres complexes

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Mohamed AL 135 11 août 2024 0 commentaire

L’exercice 6 du chapitre 1, nombres complexes

Mohamed AL Question modifiée 12 août 2024

1 Réponses

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score 1 · Answer 1 · 2025-05-02T19:01:32+00:00

Pour la troisième question on a généralement pour tout $N\in\N^*$ , la somme $\sum\limits_{k=0}^N j^k=\frac{1-j^{N+1}}{1-j}$ , et comme $j^3=1$ , si $r$ est le reste de la division euclidienne de $N+1$ par $3$ , on a $S_N=\sum\limits_{k=0}^N j^k=\frac{1-j^{r}}{1-j}$ , donc $S_N=\left\{\begin{array}{lcl}0&\text{si}&r=0\\1&\text{si}&r=1\\-j^2&\text{si}&r=2\end{array}\right.$ . En fait c’est $1+j$ dans le troisième cas mais $1+j+j^2=0$ donne $1+j=-j^2$ . Dans le cas $N=2020$ , on a $2021\equiv 2 [3]$ , donc $r=1$ donc la somme demandée vaut: $-j^2$ .

vu ce jour, je rappelle que le nombre complexe $j$ est $j=-\frac 12+ i \frac{\sqrt{3}}{2}$ , et que son écriture exponentielle est $j=e^{\frac{2pi i}{3}}$ .