Exercice 05, chapitre 1, Al moufid

Question

641 vues12 août 2024Chapitre 01: Nombres complexes

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Mohamed AL 135 11 août 2024 0 commentaire

Enoncé de l’exercice 05, chapitre 01, Al Moufid

score 1 · Answer 1 · 2024-08-11T16:39:47+00:00

On a $A=-1+i(2-\sqrt 3)$ , donc $A^2=1-(2-\sqrt 3)^2-2i(2-\sqrt 3)$ . Donc $A^2=1-(7-4\sqrt 3)-2i(2-\sqrt 3)$ , donc $A^2=8+4\sqrt 3-i(4-2\sqrt 3)$ .

Pour calculer $A^3$ , on peut utiliser $A^3=A.A^2$ et les expressions respectives de $A$ et $A^2$ .
Pour calculer $A^6$ , on peut utiliser $A^6=(A^3)^2$ .
Finalement $A^{12}=(A^6)^2$ .
En utilisant le logiciel Maple, je trouve les résultats suivants(voir l’image ci-dessous pour une copie d’écran):
$A=-1+i(2-\sqrt 3)$ ,
$A^2=-6+4\sqrt{3}+i(-4+2\sqrt{3})$ ,
$A^3=-12\sqrt{3}+20 + i(-20+12\sqrt{3})=-12\sqrt{3}+20 (1-i)$ ,
$A^6=(-1664+960\sqrt{3})i$ .
Bien entendu, ce n’est pas la peine de faire un calcul explicite de $A^{12}$ , il faut juste se contenter de dire que c’est le carré d’un imaginaire pur donc il est réel.

Il y’a beaucoup de calculs mais c’est nécessaire pour une bonne évolution en mathématiques, les calculs apprenne beaucoup de chose et imposent une volonté de se concentrer.