Algèbre des polynômes en une matrice

Question

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Mohamed AL 131 3 décembre 2023 0 commentaire

Pourquoi on a pour toute matrice $M\in\mcm_n(\K)$ , on a $\deg(\pi_M)=\dim(\K[M])$ ?

score 1 · Answer 1 · 2023-12-03T22:55:02+00:00

C’est une conséquence immédiate du fait que si

$\pi_M=X^d+\dots+a_0,$

alors tout polynôme $P$ s’écrit $P(X)=Q(X)\pi_M(X)+R(X)$ avec $\deg(R) < d$ , donc et compte tenu de $\pi_M(M)=0$ , on a $P(M)=R(M)$ , donc

$P(M)\in \vect(I_n,M,\dots, M^{d-1}),$

ensuite cette famille est libre par définition du polynôme minimal.