Idéal maximal de $\mcc([0,1],\R)$

Cet article répond à la première question du problème suivant (image ci-dessous) proposé par Ayoub Maths dans sa page sur Facebook. On pourra faire suite aux autres questions et donner leur réponses respectives aprés.

Les questions posées:

Réponse à la première et deuxième question:

Notons $E=\mcc([0,1],\R)$ . Pour tout $a\in [0,1]$ , il est très facile de prouver que $\mcm_a=\{f \in E /f(a)=0\}$ , est un idéal de $E$ .
Démontrons que $\mcm_a$ est un idéal maximal: L’application

$\Phi_a:E\to\R; f \mapsto \Phi_a(f)=f(a)$

est un morphisme d’anneaux; de plus $\Phi_a$ est surjectif car si $c\in \R$ alors $\Phi_a(f)=c$ où $f$ est l’application constante $x\mapsto f(x)=c$ . On a $\ker(\Phi_a)=\mcm_a$ , donc d’après le théorème de l’isomorphisme $E/\mcm_a\simeq \imm(\Phi_a)=\R$ et comme $\R$ est un corps, l’idéal $\mcm_a$ est maximal.

Inversement soit $\mcm$ un idéal de $E$ et supposons que

$(\star\star\star) \quad \fa x\in[0,1], \mcm\neq \mcm_x$

Il en découle que pour tout $x\in [0,1]$ il existe $f_x\in \mcm$ tel que $f_x(x)\neq 0$ , et par continuité de $f_x$ il existe $\Om_x$ ouvert de $[0,1]$ tel que:

$(\star\star)\quad \cax{x\in \Om_x}{\fa t \in \Om_x, f_x(t)\neq 0}.$

On a visiblement $\bigcup\limits_{x\in[0,1]} \Om_x=[0,1]$ et par compacité de $[0,1]$ , il existe $x_1,\dots, x_m \in[0,1]$ tel que $[0,1]=\bigcup\limits_{k=1}^m \Om_{x_k}$ . Pour tout $k\in \ll1,m\rr$ , on a $f_{x_k}\in \mcm$ et $\mcm$ est un idéal donc $f_{x_k}^2\in \mcm$ , par suite $f=\sum\limits_{k=1}^m f_{x_k}^2 \in \mcm$ . La fonction $f$ ne s’annule jamais car sinon on aurait $c\in [0,1]$ tel que $f(c)=0$ , donc on a:

$(\star)\quad \fa k\in \ll1,m\rr,\quad f_{x_k}(c)=0,$

et comme $[0,1]=\bigcup\limits_{k=1}^m \Om_{x_k}$ , il existe $j\in\ll1,m\rr$ tel que $c\in \Om_{x_j}$ , donc, en vertu de $(\star\star)$ on a $f_{x_j}(c)\neq0$ , ce qui est une contradiction avec $(\star)$ , donc $f$ ne s’annule jamais et $f$ est un élément inversible de $E$ qui est dans l’idéal $\mcm$ , donc $\mcm=E$ .

On vient de prouver que le seul idéal de $E$ qui vérifie la condition $(\star\star\star)$ est $E$ lui même, cela veut dire que tout idéal propre $\mcm$ de $E$ est contenu dans un certain $\mcm_c$ avec $c\in [0,1]$ . Si on suppose de plus que $\mcm$ est maximal, alors compte tenu du fait que $\mcm_c$ est maximal on a donc $\mcm=\mcm_c$ , ce qu’il fallait démontrer.

Les questions posées:

Réponse à la première et deuxième question:

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