Comportement des permutations de N

Un jour, un élève¹ prétend que si $\s$ est une permutation de $\N$ alors $(\star): n\sim\s(n)$ ou alors au moins $(\star)': \s(n)=O(n)$ . Ce n’est pas vrai, en effet, on peut construire une permutation $\s$ de $\N$ tel que $\limni \frac{\s(2n)}{2n}=\i$ et par suite on a ni l’une ni l’autre des conditions $(\star)$ et $(\star)'$ . Commençons par poser $I=\{2^n/n\in \N\}$ et $J=\N\bsl I$ . Comme $J$ est une partie infinie de $\N$ , il existe une bijection $\phi: 2\N+1\to J$ . On considère alors l’application $\s$ définie par $\s(n)=2^k$ si $n$ est pair et $n=2k$ et $\s(n)=\phi(n)$ si $n$ est impair. Il en découle que $\fa n\in \N, \frac{\s(2n)}{2n}=\frac{2^n}{2n}\tend{n\to\i}{\i}$ .

En classe pendant la séance des TD ↩︎

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