Une limite

Question

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Mohamed AL 131 14 août 2024 0 commentaire

Question prise dans le groupe mathématique au lien que je mets ci-dessous: https://www.facebook.com/photo/?fbid=3753153344962659&set=gm.1651040282339611&idorvanity=943499003093746

Mohamed AL Changer le statut à "publié" 14 août 2024

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score 1 · Answer 1 · 2024-08-14T09:41:33+00:00

Pour tout $x>1$ , on a $\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x+1}=\frac{x^3-x}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}$ . Donc le numérateur de la fonction concernée et $u(x)=\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x+1}-\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\right)$ . De même, son dénominateur est $v(x)=\sqrt{x-1}\left(1-\frac{x^2\sqrt{1+x}}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^2+1}}\right)$ . Il en découle que pour tout $x>1$ , on a

$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}}{1-\frac{x^2\sqrt{1+x}}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{x^2+1}}},$

par suite on a $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=\frac{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-1$