Sous-espace stable minimal

By | 3 décembre 2023
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On se propose de donner une idée pour démontrer que si E est un espace vectoriel sur \R de dimension au moins 2 et si u est un endomorphisme de E alors u admet au moins un plan stable. En fait si \K est un corps quelconque et u admet au moins une valeurs propre alors u admet au moins une droite stable, c’est le cas notamment si \K=\C, mais si u n’admet aucune valeur propre une telle droite stable n’existe pas et pour \K=\R on a quand même un plan, donc en résumé si E est un \K- espace vectoriel non nul et \K=\R ou \C alors pour tout endomorphisme u de E il existe au moins une droite ou un plan stable par u.

Cas où u admet au moins une valeur propre:

Si u admet au moins une valeur propre(c’est le cas si \K=\C ou \K=\R et n est impair), alors si on note \la une telle valeur propre et x_0 un vecteur propre associé, la droite \vect(x_0) est stable par u car si x\in F, il existe \al\in\K tel que x=\al x_0, donc u(x)=\alu(x_0)=\al\la x_0, donc u(x)\in F.

Cas où \spec(u)=\emptyset et \K=\R:

Si \spec(u)=\emptyset et \K=\R, les facteurs irréductibles du polynôme caractéristique de u sont tous des trinômes T_1,\dots, T_s unitaires de discriminants strictement négatifs. Donc \chi_u=\prod\limits_{k=1}^s T_k, et comme \chi_u(u)=0, il existe k\in \ll1,s\rr tel que T_k(u) est non injectif car si les T_k sont tous injectifs il en serait de même de leur produit, donc \chi_u(u) serait injectif, ce qui n’est pas le cas car c’est l’endomorphisme nul. On peut donc dire qu’il existe \al,\be\in \R tel que T(u)=u^2-\al u -\be \id_E est non injectif, donc il existe un vecteur non nul x tel que T(u)(x)=0, donc u^2(x)=\al u(x)+\be x, donc si F=\vect(x,u(x)) alors F est un plan de E stable par u.